人もペットも亡くなると、意識は肉体を離れ生まれ変わります。
意識が肉体を離れてから新たな肉体に入るまでの期間、言うなれば現世と来世の中間的生存状態が、「中陰」「中有」等と言われ、その期間が亡くなった日を一日目として数えて最長四十九日です。
中陰中は生まれ変わり先を決める様々な事が、肉体を離れた意識に体験されます。
また、肉体を離れた後、すぐにどこか別の世界へ行くのではなく、生前居た場所周辺に残り、生活をしています。
この間の生活は、肉体がありませんので物に触れたり直接的に食べ物を食べたりはしませんが、見たり聞いたり香りを嗅いだりしますので、生前と同じように食べ物を毎日お供えして、新しい食べ物の香を供え、お香を焚き、感謝の言葉を聞かせたりというご供養をします。
また、より良い世界や環境に生まれ変わるように寺院で中陰の法事をしたり、お経等を唱えたり、日常「良い事」をし「悪い事」をしないようにしてその「功徳」を亡くなったペットのものとして振り向けます。

四十九日を過ぎますと、御遺骨は前世の肉体となり、いうなれば前世で借りていたものですから、前世と来世との隔たりがあるので永くご自宅に祀る事はせず、出来るだけ早く適切に納めてください。人間の場合もそうですが遺骨は本来墓地に埋葬するもので、ご自宅に置くと言う事は、逆に言えば、遺骨が納められている場所である「お墓に住んでいる」という事にもなります。

方法としては、供養塔に埋葬するか、納骨堂等御遺骨を安置するべき場所に納めるか、ペット霊園等に埋葬するか、散骨するかと言う事になります。
ご自宅に置く場合には、骨壷のままではなくご自宅設置用のお墓に納めるという方法があります。地域によっては、或いは昔は、各家の敷地内に先祖のお墓がある事もありました。
それと同じで、ご自宅に石製のお墓を置きその中に御遺骨を納める事ができます。